MathLabs

第2問

nn と rr を 1≤r≤n1 \le r \le n を満たす整数とし、集合 {1,2,…,n}\{1,2,\dots,n\} の rr 個の要素からなるすべての部分集合、すなわち (nr)\binom{n}{r} 個の部分集合を考える。それぞれの部分集合には最小の要素がある。これらの最小要素の相加平均を F(n,r)F(n,r) とする。F(n,r)=n+1r+1.F(n,r) = \frac{n+1}{r+1}. を証明せよ。
ステップ 5/5: 二項係数の比を簡約する
前のステップ次のステップ
(n+1r+1)(nr)=(n+1)!(r+1)!(n−r)!n!r!(n−r)!=n+1r+1\frac{\binom{n+1}{r+1}}{\binom{n}{r}} = \frac{\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}}{\frac{n!}{r!(n-r)!}} = \frac{n+1}{r+1}
詳しい解説

両方の二項係数を階乗で展開し、n!/(n−r)!n!/(n-r)! と r!/(r+1)!=1/(r+1)r!/(r+1)!=1/(r+1) を約分すると、ちょうど n+1r+1\frac{n+1}{r+1} が残り、F(n,r)F(n,r) に関する主張が証明される。