第2問

n

と

r

を

1 \le r \le n

を満たす整数とし、集合

\{1,2,\dots,n\}

の

r

個の要素からなるすべての部分集合、すなわち

\binom{n}{r}

個の部分集合を考える。それぞれの部分集合には最小の要素がある。これらの最小要素の相加平均を

F(n,r)

とする。

F(n,r) = \frac{n+1}{r+1}.

を証明せよ。

ステップ 6/6: 部分集合の個数で割る

F(n,r) = \frac{\binom{n+1}{r+1}}{\binom{n}{r}} = \frac{n+1}{r+1}

詳しい解説

ステップ5で得た総和 $\binom{n+1}{r+1}$ を、部分集合の総数 $\binom{n}{r}$ で割ると平均 $F(n,r)$ が得られ、解法1と同じく $\frac{n+1}{r+1}$ に簡約される。