第4問

(a)

n>2

個の連続する正の整数からなる集合で、その最大の数が残り

n-1

個の最小公倍数を割り切るものが存在するのは、どの整数

n

か。(b) そのような集合がちょうど一つ存在するのは、どの整数

n>2

か。

ステップ 1/6:

k

に含まれる最大の素数冪で集合の大きさを評価する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$k$ の「最も厳しい」素数冪因子が、同じ素数冪の別の倍数が現れるまでに必要な連続する数の個数を決定する。

k=\prod_i p_i^{e_i} \implies \text{need } n > \max_i p_i^{e_i}

詳しい解説

最大の数 $k$ が素数冪 $p_i^{e_i}$ で割り切れるとき、 $k$ が他の数の最小公倍数を割り切るのは、その最小公倍数もまた $p_i^{e_i}$ で割り切れる場合に限る。 $k$ より小さい $p_i^{e_i}$ の最も近い倍数は $k-p_i^{e_i}$ なので、集合は少なくともそこまで届く必要があり、すなわち少なくとも $p_i^{e_i}$ 個の要素を持たねばならない。 $k$ を割り切るすべての素数冪について最大をとると、上記の評価が得られる。