第4問

(a)

n>2

個の連続する正の整数からなる集合で、その最大の数が残り

n-1

個の最小公倍数を割り切るものが存在するのは、どの整数

n

か。(b) そのような集合がちょうど一つ存在するのは、どの整数

n>2

か。

ステップ 2/5: ベルトランの仮説を用いる

ざっくり言うと

ベルトランの仮説は、その範囲自体のおよそ半分の幅の範囲に素数が存在することを保証する古典的な道具であり、 $n$ 個の連続整数の窓の中に素数を置くためにまさに必要なものである。

n>5: \exists \text{ prime } p \text{ with } \left\lfloor \tfrac n2 \right\rfloor < p < 2\left\lfloor \tfrac n2\right\rfloor, \text{ so } p<n\le 2p

詳しい解説

ベルトランの仮説により $\lfloor n/2\rfloor$ と $2\lfloor n/2\rfloor$ の間に厳密に素数が存在することが保証される。境界を書き直すと、この素数 $p$ は $p<n\le 2p$ を満たす。