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第4問

(a) n>2n>2 個の連続する正の整数からなる集合で、その最大の数が残り n−1n-1 個の最小公倍数を割り切るものが存在するのは、どの整数 nn か。(b) そのような集合がちょうど一つ存在するのは、どの整数 n>2n>2 か。
ステップ 3/5: n>5n>5 に対する最初の有効な集合
m=2p:2p∣lcm(2p−1,…,2p−n+1)m=2p: \quad 2p \mid \mathrm{lcm}(2p-1,\dots,2p-n+1)
詳しい解説

n−1≥pn-1\ge p なので、m=2pm=2p のときの窓 {m−1,…,m−n+1}\{m-1,\dots,m-n+1\} には pp の倍数(そこにある 22 の倍数と合わせて 2p2p の倍数)、33 の倍数、22 の倍数が含まれ、それらの最小公倍数は 2p2p で割り切れるので、m=2pm=2p は有効な最大要素となる。