第4問

(a)

n>2

個の連続する正の整数からなる集合で、その最大の数が残り

n-1

個の最小公倍数を割り切るものが存在するのは、どの整数

n

か。(b) そのような集合がちょうど一つ存在するのは、どの整数

n>2

か。

ステップ 4/5:

n>5

に対する2番目の有効な集合

m=3p: \quad 3p \mid \mathrm{lcm}(3p-1,\dots,3p-n+1)

詳しい解説

$m=3p$ として同じ議論を行うと、直前の $n-1$ 個の数の中に、再び $p$ の倍数、 $2$ の倍数、 $3$ の倍数が含まれる。したがって $3p$ も残りの数の最小公倍数を割り切り、 $2p\ne 3p$ なので、2つ目の異なる有効な最大要素が得られる。