単射性により、一つの元が欠けた入力の像であると同時に、すでに像に入る入力の像になることはない。
明らかに B⊆f(N0)B\subseteq f(\mathbb N_0)B⊆f(N0) である。b=f(a)b=f(a)b=f(a)(a∈Aa\in Aa∈A) が f(f(N0))f(f(\mathbb N_0))f(f(N0)) にも属すると、ある ttt に対して b=f(f(t))b=f(f(t))b=f(f(t)) となり、fff の単射性から a=f(t)a=f(t)a=f(t) が得られ、a∈Aa\in Aa∈A に反する。逆に、b=f(t)b=f(t)b=f(t) が f(f(N0))f(f(\mathbb N_0))f(f(N0)) に属さないなら、ttt は f(N0)f(\mathbb N_0)f(N0) に属せず、従って t∈At\in At∈A で b∈Bb\in Bb∈B である。ゆえに B=f(N0)∖f(f(N0))B=f(\mathbb N_0)\setminus f(f(\mathbb N_0))B=f(N0)∖f(f(N0)) である。