MathLabs

第4問

非負整数全体からそれ自身への関数 ff で、すべての非負整数 nn に対して f(f(n))=n+1987f(f(n)) = n + 1987 を満たすものが存在しないことを証明せよ。
ステップ 2/5: 剰余類へ移る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二回目の反復は剰余類上の恒等写像である。

g:Z/1987Z→Z/1987Z,g([n])=[f(n)]g:\mathbb Z/1987\mathbb Z\to\mathbb Z/1987\mathbb Z,\qquad g([n])=[f(n)]
詳しい解説

f(n+1987)=f(n)+1987f(n+1987)=f(n)+1987 により g([n])=[f(n)]g([n])=[f(n)] はwell-definedである。また g(g([n]))=[f(f(n))]=[n]g(g([n]))=[f(f(n))]=[n] だから、gg は対合である。