MathLabs

第4問

非負整数全体からそれ自身への関数 ff で、すべての非負整数 nn に対して f(f(n))=n+1987f(f(n)) = n + 1987 を満たすものが存在しないことを証明せよ。
ステップ 3/5: 奇数集合上の対合には不動点がある
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

奇数個の対象をすべて対にすることはできない。

∣Z/1987Z∣=1987 odd  ⟹  g([a])=[a]|\mathbb Z/1987\mathbb Z|=1987\text{ odd}\implies g([a])=[a]
詳しい解説

対合は不動でない類を異なる相手と対にする。類は 1987 個なので、少なくとも一つの類 [a][a] が固定される。