MathLabs

第4問

非負整数全体からそれ自身への関数 ff で、すべての非負整数 nn に対して f(f(n))=n+1987f(f(n)) = n + 1987 を満たすものが存在しないことを証明せよ。
ステップ 4/5: 不動類を持ち上げる
ざっくり言うと

不動類は ff が 1987 の整数個のブロックを加えることを意味し、反復でそのブロック数が二倍になる。

f(a)=a+1987q,q∈Z≥0,f(f(a))=a+2⋅1987qf(a)=a+1987q,\quad q\in\mathbb Z_{\ge0},\qquad f(f(a))=a+2\cdot1987q
詳しい解説

a∈{0,…,1986}a\in\{0,\ldots,1986\} を選ぶ。不動類より q∈Z≥0q\in\mathbb Z_{\ge0} を用いて f(a)=a+1987qf(a)=a+1987q。両立性から f(f(a))=f(a+1987q)=a+2⋅1987qf(f(a))=f(a+1987q)=a+2\cdot1987q である。