MathLabs

第1問

f(x)=xn+5xn−1+3f(x)=x^n+5x^{n-1}+3 とおく。ただし n>1n>1 は整数である。f(x)f(x) が整数係数をもつ二つの非定数多項式の積として表せないことを証明せよ。
ステップ 2/4: 3 の整除性を伝える
ざっくり言うと

3 で割れない定数係数があるため、打ち消しには g の次の係数も 3 の倍数でなければならない。

3=b0c03=b_0c_0
詳しい解説

定数項が 3 なので b0,c0b_0,c_0 の一方は 3 の倍数である。因子を交換して 3∣b03|b_0、3∤c03\nmid c_0 とする。xx の係数が 0 であることから 3∣b13|b_1、同じ比較を繰り返して 3∣bn−23|b_{n-2} を得る。