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第1問

f(x)=xn+5xn−1+3f(x)=x^n+5x^{n-1}+3 とおく。ただし n>1n>1 は整数である。f(x)f(x) が整数係数をもつ二つの非定数多項式の積として表せないことを証明せよ。
ステップ 3/4: 因子の次数を決める
ざっくり言うと

係数 5 が障害となる。3 を法とすれば、それ以前の項はすべて 3 の倍数である。

b0cn−1+⋯+bn−2c1+bn−1c0=5b_0c_{n-1}+\cdots+b_{n-2}c_1+b_{n-1}c_0=5
詳しい解説

この係数方程式を 3 を法として見ると bn−1c0b_{n-1}c_0 は 2 に合同で、bn−1b_{n-1} は 0 ではない。したがって gg の次数は少なくとも n−1n-1。hh は非定数なので次数は 1、gg の次数は n−1n-1 である。