MathLabs

国際数学オリンピック · 1996年

問題

  1. 第1問We はgiven a 正の整数 r r およびa rectangular 盤 divided inへ20×1220\times12 unit 平方s. A 移動 からone 平方 へanother はpermitted のみwhen 距離 between their 中心s はr\sqrt r . Find a 数列 の移動s leading between two adjacent corners の盤 thでlie 上のlong side. (a) 証明せよ thははimpossible if r r はdivisible により22 または33. (b) 証明せよ it はpossible に対してr=73 r=73. (c) Can it be done に対してr=97 r=97?解答: 1
  2. 第2問とする。P P be a 点 inside 三角形 ABC ABC を満たす ∠APB−∠ACB=∠APC−∠ABC\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC . とする。D D およびE E be in中心s の三角形s APB APB およびAPC APC , respectively. 証明せよ AP AP , BD BD , およびCE CE meet でa 点.解答: 1
  3. 第3問とする。S S be set のnon-negative 整数s. すべて求めよ 関数s f:S→S f:S\to S を満たす f(m+f(n))=f(f(m))+f(n) f(m+f(n))=f(f(m))+f(n) すべての m,n∈S m,n\in S .解答: 1
  4. 第4問The 正の整数 a a およびb b はを満たす 15a+16b15a+16b および16a−15b16a-15b はboth 平方s の正の整数. Whではleast possible value のsmaller のthese two 平方s?解答: 1
  5. 第5問とする。ABCDEF ABCDEF be a convex hexag上のを満たす AB∥DE AB\parallel DE , BC∥EF BC\parallel EF , およびCD∥FA CD\parallel FA . とする。RA,RC,RE R_A,R_C,R_E be circumradii の三角形s FAB FAB , BCD BCD , DEF DEF , respectively, およびlet p p be perimeter のhexagon. 証明せよ RA+RC+RE≥p/2 R_A+R_C+R_E\ge p/2.解答: 1
  6. 第6問とする。p,q,n p,q,n be 正の整数 を伴うp+q<n p+q<n . とする。x0,x1,…,xn x_0,x_1,\ldots,x_n be 整数s を伴うx0=xn=0 x_0=x_n=0, およびに対して各 1≤i≤n1\le i\le n 翻訳： let xi−xi−1=p x_i-x_{i-1}=p または−q-q . 証明せよ there exist i<j i<j , を伴う(i,j)≠(0,n)(i,j)\ne(0,n), を満たす xi=xj x_i=x_j .解答: 1