ボルスクの分割問題

正の直径 $D = \sup_{x,y \in E} \|x - y\| > 0$ を持つ任意の有界部分集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ は、各部分 $E_i$ の直径がすべて $D$ より真に小さくなるように、高々 $n + 1$ 個の部分集合 $E_1, \dots, E_{n+1}$ に分割できるか。

1993年にジェフ・カーンとギル・カライによって一般には成り立たないことが証明された。彼らは $(0,1)$-ベクトルに関するフランクル–ウィルソンの交差定理を用いて、直径をより小さくするのに少なくとも $(1.2)^{\sqrt{n}}$ 個の部分を要する $\mathbb{R}^n$ の有限点集合を構成し、$n = 1{,}325$ およびすべての $n > 2{,}014$ に対する反例を与えた。その後の研究により反例の最小次元は段階的に引き下げられ、アンドリー・V・ボンダレンコ（2013年）は強正則グラフ由来の2距離集合を用いて $\mathbb{R}^{65}$ の反例を構成し、トーマス・イェンリッヒとアンドリース・E・ブラウワー（2014年）は $\mathbb{R}^{64}$ 内の352点からなる反例を発見、さらに2026年のYibo JiによるプレプリントではAIが生成した $\mathbb{R}^{63}$ 内の321点の反例が検証されている。