ボルスクの分割問題

反証済み幾何学

問題の内容

正の直径 $D = \sup_{x,y \in E} \|x - y\| > 0$ を持つ任意の有界部分集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ は、各部分 $E_i$ の直径がすべて $D$ より真に小さくなるように、高々 $n + 1$ 個の部分集合 $E_1, \dots, E_{n+1}$ に分割できるか。

1993年にジェフ・カーンとギル・カライによって一般には成り立たないことが証明された。彼らは $(0,1)$ -ベクトルに関するフランクル–ウィルソンの交差定理を用いて、直径をより小さくするのに少なくとも $(1.2)^{\sqrt{n}}$ 個の部分を要する $\mathbb{R}^n$ の有限点集合を構成し、 $n = 1{,}325$ およびすべての $n > 2{,}014$ に対する反例を与えた。その後の研究により反例の最小次元は段階的に引き下げられ、アンドリー・V・ボンダレンコ（2013年）は強正則グラフ由来の2距離集合を用いて $\mathbb{R}^{65}$ の反例を構成し、トーマス・イェンリッヒとアンドリース・E・ブラウワー（2014年）は $\mathbb{R}^{64}$ 内の352点からなる反例を発見、さらに2026年のYibo JiによるプレプリントではAIが生成した $\mathbb{R}^{63}$ 内の321点の反例が検証されている。

ボルスク予想は一般には偽であることが判明したものの、予想が破綻する最小の次元を決定することは依然として重要な未解決問題である。予想は $n \le 3$ で証明され、 $n \ge 64$ （および2026年のプレプリントでは $n = 63$ ）で偽であることが分かっているが、 $n = 4$ を含む中間次元 $4 \le n \le 62$ では完全に未解決である。もう一つの活発な研究方向は、 $\mathbb{R}^n$ の任意の有界集合をより小さい直径に分割するのに必要な最小個数（ボルスク数 $b(n)$ ）の漸近的挙動であり、既知の最良の一般上界はオデッド・シュラムが1988年に示した $b(n) \le (\sqrt{3/2} + o(1))^n$ である。

参考文献

Karol Borsuk (1933). Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre · DOI:10.4064/fm-20-1-177-190
Jeff Kahn, Gil Kalai (1993). A counterexample to Borsuk's conjecture · DOI:10.1090/S0273-0979-1993-00398-7 · arXiv:math/9307229v1
Andriy V. Bondarenko (2014). On Borsuk's conjecture for two-distance sets · DOI:10.1007/s00454-014-9579-4 · arXiv:1305.2584v2
Thomas Jenrich, Andries E. Brouwer (2014). A 64-dimensional counterexample to Borsuk's conjecture · DOI:10.37236/4069 · arXiv:1308.0206v3
Yibo Ji (2026). An AI Generated Counterexample to Borsuk Problem in Dimension 63 · arXiv:2608.12561v1 [プレプリント・未査読]

問題の歴史

1933カロル・ボルスクが $n = 2$ の場合を証明し（直径 $D$ の任意の平面集合は直径が高々 $\frac{\sqrt{3}}{2} D < D$ の3つの集合で覆える）、 $n$ 次元球面に関する論文の末尾で一般の $n$ 次元における問題を提起した。
1946フーゴ・ハドヴィガーが、滑らかな境界を持つ（すべての境界点がただ一つの支持超平面を持つ） $\mathbb{R}^n$ の任意の有界部分集合は、より直径の小さい $n + 1$ 個の部分に分割できることを証明した。
1955H・G・エグルストンが（1947年のジュリアン・ペルカルによる発表に続き） $n = 3$ の場合の完全な証明を与え、 $\mathbb{R}^3$ の任意の有界部分集合がより直径の小さい $4$ 個の部分に分割できることを示した。
1993ジェフ・カーンとギル・カライが高次元でボルスク予想を反証し、 $\mathbb{R}^n$ でより小さい直径に分割するのに必要な最小個数が少なくとも $(1.2)^{\sqrt{n}}$ と指数関数的に増大することを証明した。
2013アンドリー・V・ボンダレンコが強正則グラフ $G_2(4)$ から $\mathbb{R}^{65}$ における2距離集合の反例を構成し、続いてトーマス・イェンリッヒとアンドリース・E・ブラウワー（2014年）がそれを改良して、少なくとも $71 > 65$ 個の部分を要する $\mathbb{R}^{64}$ 内の352点の反例を発見した。