キャップ集合問題

3項等差数列を含まない（すなわち $x + y + z = 0$ を満たす相異なる3元 $x, y, z \in A$ をもたない）部分集合 $A \subseteq \mathbb{F}_3^n$（キャップ集合）の最大サイズ $r_3(\mathbb{F}_3^n)$ が、$3$ より真に小さい底で指数的に増大するか、すなわちある定数 $c < 3$ に対して $r_3(\mathbb{F}_3^n) \le c^n$ が成り立つかを決定せよ。

2016年5月、アーニー・クルート、フセヴォロド・レフ、ペーテル・パール・パッハは $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^n$ 内の等差数列を含まない集合を評価する画期的な多項式法を導入した。その数日後、ジョーダン・エレンバーグとディオン・ハイスワイトがこの手法を $\mathbb{F}_q^n$ に適用し、$\mathbb{F}_3^n$ の任意のキャップ集合のサイズが $c = 3(8^{-1/3})(1+8^{-1/3}+8^{-2/3}) / 2 \approx 2.7552 < 3$（すなわち $\frac{3}{8^{1/3}} \cdot \dots \approx 2.756$）に対して高々 $O(c^n)$ であることを証明した。テレンス・タオはテンソルのスライスランクを用いてこの議論を明快に再定式化した。これにより指数的減衰に関する定性的予想は解決されたが、最良の下界（$\approx 2.220^n$）と $2.7552^n$ の間にある正確な指数底の決定は未解決のままである。