カタラン予想

整数 $x, y, a, b$ が $a, b > 1$ を満たすとき、方程式 $x^a - y^b = 1$ の解は $x=3, a=2, y=2, b=3$ のみである——すなわち $3^2 - 2^3 = 1$ であり、したがって8と9は、正の整数の完全べき乗のうち連続する唯一の組である。

ウジェーヌ・シャルル・カタランは、8と9が小さな数の中で連続する唯一の完全べき乗であるように見えることに気づき、1844年のクレレ誌への手紙で予想を提起した。進展は遅く、1976年にロベルト・テイデマンはベイカーの対数の線形形式の理論を用いて、$3^2-2^3=1$ 以外に解があるならば、指数 $a$ と $b$ の両方が明示的な（天文学的に巨大な）定数で上から抑えられることを示し、問題を有限の——しかし計算上は絶望的な——探索へと帰着させた。プレダ・ミハイレスクは2002年、円分体とヴィーフェリッヒ対の性質を用いた最終的な純粋代数的論証を見出し、テイデマンの巨大な数値的上界に頼ることなく、他に解が存在しないことを証明した。この結果は今日ミハイレスクの定理と呼ばれている。