アインシュタイン問題（非周期モノタイル）

解決済み、2023年幾何学

問題の内容

単一の連結な閉位相円板 $T \subset \mathbb{R}^2$ （「アインシュタイン」、ドイツ語の ein Stein＝「一つの石」に由来）であって、 $T$ と合同なコピーを用いてユークリッド平面 $\mathbb{R}^2$ 全体を重なりも隙間もなく敷き詰めることができるが、そのようなタイリングがすべて非周期的（いかなる非ゼロの平行移動に対しても不変でない）となるものは存在するか。

2023年にデイヴィッド・スミス、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズ、クレイグ・S・カプラン、ハイム・グッドマン＝シュトラウスによって解決された。2023年3月、彼らはラヴェス $[3.4.6.4]$ タイリングの凧形8個からなる13角形のポリカイト「ハット」を発表し、階層的な置換メタタイルと計算機援用による周辺クラスタの網羅的解析によって、ハットが（裏返しを含む合同変換のもとで）平面 $\mathbb{R}^2$ を非周期的にしか敷き詰められないことを証明した。さらに2か月後の2023年5月、同じ4人の著者は、辺を緩やかな曲線や切り欠きに変形した14辺のタイル「スペクター」を発表した。スペクターは厳密にキラルな非周期モノタイルであり、鏡映が許されていても平行移動と回転のみによる非周期タイリングしか許容しない。

ハットは辺長 $a$ と $b$ を持つ14角形（退化すると13角形）の連続な1パラメータ族 $\operatorname{Tile}(a,b)$ に属しており、ほぼすべての比 $a:b$ （ $a=0$ , $b=0$ , $a=b$ を除く）において非周期的であり位相的に同値なタイリングを生成する。等辺となる $\operatorname{Tile}(1,1)$ では鏡映を許すと周期的タイリングが可能になるが、その各辺を同一の曲線や折れ線で変形することでスペクター族が得られ、より強いキラル・アインシュタイン問題も解決された。高次元ではジョン・ホートン・コンウェイ、チャールズ・ラディン、ロレンツォ・サドゥンらがそれ以前に $\mathbb{R}^3$ の非周期モノタイル（シュミット–コンウェイ–ダンツァー双角柱など）を構成していたが、平面 $\mathbb{R}^2$ の多角形アインシュタインが持ちうる最小頂点数については今なお未解決の問いが残されている。

参考文献

David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss (2024). An aperiodic monotile · DOI:10.5070/C64163843 · arXiv:2303.10798v2
David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss (2024). A chiral aperiodic monotile · DOI:10.5070/C64264241 · arXiv:2305.17743v1
Branko Grünbaum, G. C. Shephard (1987). Tilings and Patterns

問題の歴史

1966ロバート・バーガーがドミノ敷き詰め問題の決定不能性を証明し、 $20{,}426$ 枚のワン・タイルからなる最初の非周期タイル集合を構成したことで、非周期性を強制するのに必要なタイルの種類を最小化する探求が始まった。
1974ロジャー・ペンローズがわずか2種類の図形（ペンローズのカイトとダート、あるいは2種類のひし形）を用いた平面の非周期タイリングを発見し、図形の種類を $1$ にまで減らせるかという問題が残された。
2010ジョシュア・ソコラーとジョーン・テイラーが六角形の非周期モノタイルを構成したが、非周期性を強制するには非隣接タイル間のマッチング規則、あるいは非連結な平面図形（または3次元タイル）とする必要があった。
2023デイヴィッド・スミス、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズ、クレイグ・S・カプラン、ハイム・グッドマン＝シュトラウスが、連結な13角形ポリカイト「ハット」が非周期モノタイルであることを証明してアインシュタイン問題を解決し、直後に鏡映を一切必要としない厳密にキラルなモノタイル「スペクター」を発見した。