解法: MRDP定理:ディオファントス集合は帰納的可算集合と一致する(1970年)

$v = F_{2u}$ がディオファントスであることが分かった(ステップ6)ことで、ステップ4のRobinsonのJR機構が次々と発動する:べき乗 $y = 2^x$ がディオファントスになり(本質的には $2$ のべき乗を、必要な成長率を持つフィボナッチ型の漸化式に関連付けることによる)、次に二項係数関数 $\binom{n}{k}$(べき乗に帰着できる母関数の恒等式による)、そして階乗関数 $n!$ である。

階乗とべき乗の両方がディオファントスになったことで、Turingマシンの構成全体の履歴——各時刻におけるテープの内容、ヘッド位置、内部状態——を、ゲーデル流の番号付けスキームによって一つの大きな数として符号化でき、「この数はマシン $e$ が入力 $a$ 上で行う有効な停止計算を符号化している」を $a$ と $e$ についてのディオファントス条件として表現できる。これにより、すべての帰納的可算集合がディオファントスであることが示され、Davisの1953年の予想と正確に一致する。

ステップ2の容易な方向(ディオファントス $\implies$ r.e.)と合わせると、これはMRDP定理を確立する:帰納的可算集合とディオファントス集合はちょうど同じクラスである。最後のステップでは、この同値性を用いてヒルベルトの第十問題の否定的な答えを導く。