ヒルベルトの第3問題

3次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^3$ 内の体積が等しい任意の2つの多面体が与えられたとき、一方を有限個の多面体片に切り分け、剛体運動で組み直して他方を作ることは常に可能か。ヒルベルトは答えが否であると予想し、体積が等しいにもかかわらずハサミ合同(分解合同)ではない2つの多面体を示すことを求めた。

ヒルベルトの弟子マックス・デーンは1900年にこの問題を解決し、ヒルベルトの23の問題の中で最初に解決された問題となった。彼は各辺 $e$ の長さ $\ell(e)$ と二面角 $\theta(e)$ を用いてデーン不変量 $\operatorname{Dehn}(P) = \sum_e \ell(e) \otimes [\theta(e)] \in \mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ を導入した。いかなる有限回の多面体分割も $\operatorname{Dehn}(P)$ を保ち、立方体では二面角が $\pi/2$ であるため $\operatorname{Dehn} = 0$ となる一方、正四面体では $\theta = \arccos(1/3)$ が $\pi$ の有理数倍ではないため $\operatorname{Dehn} \ne 0$ となる。デーンの論文は1901年に『Mathematische Annalen』に掲載された。