カディソン・シンガー問題

可分ヒルベルト空間 $\ell^2(\mathbb{N})$ 上のすべての有界線形作用素からなる $C^*$ 環 $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ において、対角有界線形作用素からなる極大可換 $C^*$ 部分環を $\mathcal{D} \cong \ell^\infty(\mathbb{N})$ とする。$\mathcal{D}$ 上のすべての純粋状態 $\rho$ は、$\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ 上の純粋状態へ一意に拡張されるか。

2013年6月にアダム・W・マーカス、ダニエル・A・スピールマン、ニヒル・スリヴァスタヴァによって肯定的に解決された（2015年に Annals of Mathematics に掲載）。彼らは超フィルターや $C^*$ 環を直接扱う代わりに、ニック・ウィーヴァーの2004年の有限次元食い違い予想 $\mathrm{KS}_2$ を証明した。すなわち、$v_1, \dots, v_m \in \mathbb{C}^d$ がすべての $i$ について $\sum_{i=1}^m v_i v_i^* = I_d$ および $\|v_i\|^2 \le \delta$ を満たすならば、$\{1, \dots, m\}$ を2つの集合 $S_1, S_2$ に分割して $j = 1, 2$ に対し $\left\|\sum_{i \in S_j} v_i v_i^*\right\| \le \frac{(1 + \sqrt{2\delta})^2}{2}$ とできることを示した。彼らはこの評価を、交錯族の手法と多変数実安定多項式を用いて「混合特性多項式」の最大根を解析することにより証明した。