カディソン・シンガー問題

解決済み、2013年解析学

問題の内容

可分ヒルベルト空間 $\ell^2(\mathbb{N})$ 上のすべての有界線形作用素からなる $C^*$ 環 $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ において、対角有界線形作用素からなる極大可換 $C^*$ 部分環を $\mathcal{D} \cong \ell^\infty(\mathbb{N})$ とする。 $\mathcal{D}$ 上のすべての純粋状態 $\rho$ は、 $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ 上の純粋状態へ一意に拡張されるか。

2013年6月にアダム・W・マーカス、ダニエル・A・スピールマン、ニヒル・スリヴァスタヴァによって肯定的に解決された（2015年に Annals of Mathematics に掲載）。彼らは超フィルターや $C^*$ 環を直接扱う代わりに、ニック・ウィーヴァーの2004年の有限次元食い違い予想 $\mathrm{KS}_2$ を証明した。すなわち、 $v_1, \dots, v_m \in \mathbb{C}^d$ がすべての $i$ について $\sum_{i=1}^m v_i v_i^* = I_d$ および $\|v_i\|^2 \le \delta$ を満たすならば、 $\{1, \dots, m\}$ を2つの集合 $S_1, S_2$ に分割して $j = 1, 2$ に対し $\left\|\sum_{i \in S_j} v_i v_i^*\right\| \le \frac{(1 + \sqrt{2\delta})^2}{2}$ とできることを示した。彼らはこの評価を、交錯族の手法と多変数実安定多項式を用いて「混合特性多項式」の最大根を解析することにより証明した。

カディソン・シンガー問題の肯定的解決は、関数解析、フレーム理論、調和分析、理論計算機科学にわたる同値な予想群——ジョエル・アンダーソンの舗装予想（1979年）、ジャン・ブルガンとリオル・ツァフリリの制限可逆性予想（1987–1991年）、有界フレームをリース基底列へと分割するピーター・カサッツァらのファイヒティンガー予想（2003年）——を一挙に解決した。また姉妹論文（"Interlacing Families I"）において、マーカス、スピールマン、スリヴァスタヴァは同じ多項式交錯族の手法を用いて任意の次数の二部ラマヌジャングラフの無限族を構成した。

参考文献

Richard V. Kadison, Isadore M. Singer (1959). Extensions of pure states · DOI:10.2307/2372748
Adam W. Marcus, Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava (2015). Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison–Singer problem · DOI:10.4007/annals.2015.182.1.8 · arXiv:1306.3969
Nik Weaver (2004). The Kadison–Singer problem in discrepancy theory · DOI:10.1016/S0012-365X(03)00253-X

問題の歴史

1959両立する観測可能量が純粋状態を決定するというポール・ディラックの量子力学の原理に動機づけられ、リチャード・V・カディソンとイサドール・M・シンガーが $\ell^\infty(\mathbb{N})$ 上のすべての純粋状態が $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ へ一意に拡張されるかを提起した（同時に $L^\infty([0,1])$ のような連続極大可換部分環からの拡張は一意でないことも示した）。
1979ジョエル・アンダーソンが、カディソン・シンガー問題が自身の舗装予想（paving conjecture）と同値であることを証明した。すなわち、任意の $\varepsilon > 0$ に対して整数 $r$ が存在し、 $\ell^2(\mathbb{N})$ 上のすべての対角成分ゼロの有界作用素 $T$ に対して $r$ 個の座標射影 $P_1, \dots, P_r$ を選んで $\|P_j T P_j\| \le \varepsilon \|T\|$ とできるという予想である。
2004ニック・ウィーヴァーが小さなノルムを持つ等方的ベクトル族の分割に関する食い違い理論的予想 $\mathrm{KS}_r$ を定式化し、 $\mathrm{KS}_2$ がカディソン・シンガー問題を含意することを証明した。
2013アダム・マーカス、ダニエル・スピールマン、ニヒル・スリヴァスタヴァが混合特性多項式の交錯族を用いてウィーヴァーの予想 $\mathrm{KS}_2$ を証明し、カディソン・シンガー問題を肯定的に解決した。