解法: 区間演算による厳密な計算機支援証明、Tucker(1999年)

有界性だけでなくカオスを証明するために、Tuckerは前段階のトラップ領域に錐の場を備え付ける:各点 $x$ において、選ばれた拡大方向のある角度閾値内にあるベクトルからなる接空間の部分集合 $\mathcal{C}(x)$ である。帰還写像の導関数 $DP_x$ に対する厳密な区間評価(流れの変分方程式を通じて写像自体と並行して計算される)を用いて、Tuckerはトラップ領域全体で二つの性質を検証する:錐の場が不変であること、$DP_x(\mathcal{C}(x)) \subset \mathcal{C}(P(x))$、そして拡大的であること、すなわちある固定された $\kappa>1$ とすべての $v\in\mathcal{C}(x)$ に対して $\|DP_x(v)\| \ge \kappa\|v\|$ である。

この二つの性質を合わせたものが、Guckenheimer–Williamsのテンプレートの中心にある特異双曲性の幾何学的定義である:それらは、分離ベクトルが錐の場の内側から始まる近くの二点が、帰還写像を繰り返し適用するもとで指数的な速さで離れていかなければならないことを保証し、これはまさに初期条件への鋭敏な依存性の数学的形式化である。決定的に重要なのは、原点の鞍点構造のために、錐の場が相空間全体にわたって古典的な(Anosov・公理A)意味で一様双曲的になりえないため、この弱いが十分な特異双曲性の概念(Morales、Pacifico、Pujalsによる)こそが、Guckenheimer–Williamsのテンプレートが要求し、かつ区間演算が厳密に証明できるものだということである。

前方不変性(前段階)とこの拡大する錐場の両方が確立されたことで、帰還写像がGuckenheimer–Williamsの抽象モデルが要求するまさにその組合せ論的・幾何学的構造を持つことが検証され、最終的な組み立ての段階へとつながる。