8次元および24次元における球充填問題

$8$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^8$ において、互いに重なり合わない合同な球のいかなる充填も、$E_8$ 格子充填の密度 $\Delta_8 = \frac{\pi^4}{384} \approx 0.25367$ を超えることはない。また $24$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{24}$ において、いかなる球充填もリーチ格子 $\Lambda_{24}$ 充填の密度 $\Delta_{24} = \frac{\pi^{12}}{12!} \approx 0.00192957$ を超えることはない。

2016年3月14日、マリナ・ヴィヤゾフスカは23ページの衝撃的なプレプリント（`arXiv:1603.04246`、2017年に Annals of Mathematics に掲載）を発表し、保型形式および準保型形式を用いて長年探求されてきたコーン・エルキースの「魔法の関数」を構成することで $8$ 次元の球充填問題を解決した。そのわずか1週間後（`arXiv:1603.06518`）、ヘンリー・コーン、アビナフ・クマール、スティーヴン・D・ミラー、ダニロ・ラドチェンコ、マリナ・ヴィヤゾフスカが彼女の保型形式の構成法を拡張し、リーチ格子 $\Lambda_{24}$ に対する $24$ 次元の問題を解決した。ヴィヤゾフスカはこの業績により2022年にフィールズ賞を受賞した。