仮想ハーケン予想

無限基本群 $\pi_1(M)$ を持つすべてのコンパクト・向き付け可能・既約な $3$ 次元多様体 $M$ は仮想的にハーケン（virtually Haken）である。すなわち、ハーケン多様体（$\widetilde{M}$ が種数 $1$ 以上の適切に埋め込まれた両側非圧縮曲面、または適切に埋め込まれた非圧縮円板を含む多様体）となる有限重被覆空間 $\widetilde{M} \to M$ を持つ。

2012年にイアン・アゴルによって解決された（イアン・アゴル、ダニエル・グローヴズ、ジェイソン・マニングによる付録とともに2013年に Documenta Mathematica に掲載）。グリゴリー・ペレルマンによるウィリアム・サーストンの幾何化予想の証明（2002–2003年）により、問題は閉双曲 $3$ 次元多様体の場合に帰着されていた。ジェレミー・カーンとウラジミール・マルコヴィッチ（2012年）は曲面部分群予想を証明して $\pi_1(M)$ 内に豊富な準凸曲面部分群を構成し、ベルジュロン・ワイズの判定条件によって $\pi_1(M)$ が $\operatorname{CAT}(0)$ 立方体複体に余コンパクトに作用することを示した。アゴルは、立方体化された語双曲群がすべて仮想的に特別（virtually special）であることを証明してダニエル・ワイズとフレデリック・ハグルンドのプログラムを完成させ、仮想ハーケン予想とサーストンの仮想ファイバー化予想の双方を解決した。