スペクトル定理(実対称行列)

内容

任意の実対称行列 $A$(すなわち $A^{\mathsf T}=A$)は直交対角化可能である:実成分の直交行列 $Q$ と対角行列 $D$ が存在して $A = QDQ^{\mathsf T}$ となる。同値な言い方をすれば、$A$ は実固有ベクトルからなる正規直交基底をもつ。

なぜ正しいのか?

対称行列は一般の行列のように空間をねじることは決してなく、互いに直交する軸の集合に沿って伸縮するだけである。スペクトル定理は、そのような軸が常に存在し、$A$ の作用全体を説明するのに十分であると述べている:それらの軸に合わせて回転し(直交行列 $Q$)、各軸をそれぞれの実数倍だけ伸縮し(対角行列 $D$)、そして元の向きに回転し戻すのである。

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