波動方程式のダランベールの公式

内容

波動方程式 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ が $\mathbb{R} \times (0,\infty)$ 上で初期条件 $u(x,0)=\varphi(x)$, $u_t(x,0)=\psi(x)$ を満たすとき、その一意な解は $u(x,t) = \tfrac{1}{2}\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big) + \tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$ である。

なぜ正しいのか?

無限に長い弦上の波は、初期の形を左右にそれぞれ速さ $c$ でずらしたものを重ね合わせ、初速度に対応する補正項を加えたものにすぎない。点 $(x,t)$ で起こることは区間 $[x-ct, x+ct]$ 上の初期データにしか依存し得ない——情報は速さ $c$ より速くは伝わらない。

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