微分積分学の基本定理

(i) 小さな $h>0$ に対し $F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h} f(t)\,dt$ であり、積分に関する平均値の定理により、これは $x$ と $x+h$ の間のある $\xi_h$ を用いて $h\cdot f(\xi_h)$ に等しい。したがって $h\to 0$ のとき $f$ の連続性により $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(\xi_h)\to f(x)$ となる。(ii) (i) により $G-F$ は $[a,b]$ 上で導関数が $0$ なので定数である；$G(b)-F(b)=G(a)-F(a)$ を評価し、$F(a)=0$、$F(b)=\int_a^b f$ を用いると $\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)$ が得られる。