ゲーデルの第二不完全性定理

内容

第一不完全性定理の仮定を満たす無矛盾な形式体系 $F$ について、$\mathrm{Con}(F)$ を「$F$ の中に矛盾の証明は存在しない」ことを表す算術命題とする。このとき $F$ は $\mathrm{Con}(F)$ を証明できない。

なぜ正しいのか?

第一不完全性定理を証明する議論全体は $F$ の内部で実行・検証することができ、$F\vdash \mathrm{Con}(F)\to G$(第一定理の命題 $G$)が得られる。もし $F$ が $\mathrm{Con}(F)$ も証明できれば、$G$ も証明できることになり、第一定理と矛盾する。したがって、十分強力で無矛盾な体系は、自分自身の無矛盾性を内部から証明することはできない。

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