ジョルダン曲線定理

内容

平面 $\mathbb{R}^2$ 内の単純閉曲線 $\gamma$（円の連続かつ単射な像）を考える。このとき $\mathbb{R}^2 \setminus \gamma$ はちょうど2つの連結成分からなり、一方は有界な内部、もう一方は非有界な外部であり、$\gamma$ はそのどちらの境界でもある。

なぜ正しいのか?

円や手描きの曲がりくねった輪であれば当たり前に見える——内側にいる虫は曲線を横切らずに外側へ出ることはできない。この定理が難しいのは、まさに「単純閉曲線」がどこにも滑らかでない、無限に入り組んだ野性的な曲線（コッホ雪片の境界など）も許すからであり、そのような曲線に対しても「内側」と「外側」を厳密に定義し証明する必要があるからである。

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