定理証明済み

ボルスーク・ウラムの定理

内容

任意の連続写像 $f: S^n \to \mathbb{R}^n$ に対して、 $f(x) = f(-x)$ を満たす点 $x \in S^n$ が存在する。同値な言い方をすれば、すべての $x$ について $f(-x) = -f(x)$ を満たす連続写像 $S^n \to S^{n-1}$ は存在しない。

なぜ正しいのか?

ある瞬間には必ず、地球表面上に（中心を通る直径の両端にあたる）対蹠点のペアが存在し、その2点で気温と気圧が同時にまったく同じ値になる。これは気温と気圧が連続的に変化し、ここで $n=2$ であるためである。

証明の概略

この定理は、ルステルニク・シュニレルマンの被覆補題から導ける： $S^n$ が $n+1$ 個の閉集合で覆われているならば、そのうち少なくとも1つは対蹠点の組を含む。これを $f$ から構成した集合（ $S^n$ を、 $f(x)$ の座標のうち絶対値が最大のものに応じて分類する）に適用すると、ある $x$ について $f(x)=f(-x)$ となることが強制される。この定理は、写像 $g(x)=f(x)-f(-x)$ に対する次数・指数の議論によって直接証明することもできる。

この定理を使うトピック

ホモロジーとコホモロジー

参考文献

Karol Borsuk (1933). Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre
Jiří Matoušek (2003). Using the Borsuk–Ulam Theorem