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定理証明済み

閉曲面の分類定理

内容

境界のないコンパクト連結曲面は、次のいずれか1つと同相である：球面 S2S^2；g≥1g \geq 1 個のトーラスの連結和（向き付け可能な種数 gg の曲面、χ=2−2g\chi = 2-2g）；または射影平面 RP2\mathbb{RP}^2 の k≥1k \geq 1 個の連結和（向き付け不可能な曲面、χ=2−k\chi = 2-k）。このリストにある曲面はどの2つをとっても互いに同相ではない。

なぜ正しいのか?

閉曲面がどれほどねじれ、くしゃくしゃに見えても、それを切り開いて位相的に組み直せば、必ず、素の球面か、いくつかの取っ手を接着した球面（ボールの上にドーナツを重ねたようなもの——トーラス、2つ穴トーラスなど）か、いくつかのメビウスの帯的なねじれを縫い込んだ球面（クラインの壺や射影平面のように、自己交差なしに通常の3次元空間に埋め込むことはできない）のいずれかになる。

証明の概略

曲面を三角分割し、その双対グラフの全域木に沿って切り開くと、辺のラベルからなる語（トーラスなら aba−1b−1aba^{-1}b^{-1} など）に従って辺が対になって同一視された、1枚の多角形が得られる。この多角形に対する初等的な切り貼り操作（ラベルの付け替え、対角線に沿って切って貼り直す）を繰り返すことで、任意のそのような語は標準形 a1b1a1−1b1−1⋯agbgag−1bg−1a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1} または a1a1⋯akaka_1a_1\cdots a_ka_k のいずれかに帰着され、これにより曲面が種数 gg の向き付け可能曲面か、kk 個の射影平面の連結和かが決まる。

この定理を使うトピック

オイラー標数

関連する定理

オイラーの多面体公式ガウス・ボネの定理毛玉の定理（ハリーボール定理）

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. William S. Massey (1991). A Basic Course in Algebraic Topology
  2. George K. Francis, Jeffrey R. Weeks (1999). Conway's ZIP Proof