定理証明済み

ラグランジュの定理(群論)

内容

$G$ を有限群、 $H$ を $G$ の部分群とすると、 $|H|$ は $|G|$ を割り切る。より詳しく $|G| = [G:H]\cdot|H|$ が成り立つ。ここで $[G:H]$ は $G$ における $H$ の剰余類の個数である。

なぜ正しいのか?

部分群 $H$ は全体の群 $G$ を、どれも $H$ とまったく同じ大きさの(元 $g$ による平行移動が全単射になるため)剰余類 $gH$ に分割し、それらは決して重ならない—— $G$ の各元はちょうど一つの剰余類に属する。 $G$ が同じ大きさの重ならない部分で完全に敷き詰められている以上、その大きさは部分の大きさ $|H|$ の整数倍でなければならない。

証明の概略

左剰余類 $gH$ が $G$ を分割することを示す:それらは $G$ を覆い(各 $g\in gH$ )、任意の二つの剰余類は一致するか互いに素である( $g_1H\cap g_2H\neq\varnothing$ ならば $g_1H=g_2H$ )。 $h\mapsto gh$ が全単射 $H\to gH$ であるため、各剰余類はちょうど $|H|$ 個の元をもつ。 $[G:H]$ 個の剰余類にわたって $|H|$ を足し合わせると $|G|=[G:H]\cdot|H|$ が得られる。

提示者

1771年に提示ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ

この定理を使うトピック

群論

参考文献

David S. Dummit, Richard M. Foote (2004). Abstract Algebra