定理証明済み

ガロア理論の基本定理

内容

有限ガロア拡大 $K/F$ とそのガロア群 $G=\operatorname{Gal}(K/F)$ に対して、 $G$ の部分群と中間体 $F\subseteq E\subseteq K$ との間に、包含関係を逆転させる全単射が存在する。これは $H \mapsto K^H$ ( $H$ の固定体)および $E \mapsto \operatorname{Gal}(K/E)$ で与えられる。この対応のもとで $E/F$ が正規拡大であることと $H$ が $G$ の正規部分群であることは同値であり、このとき $\operatorname{Gal}(E/F)\cong G/H$ となる。

なぜ正しいのか?

扱いにくい体拡大を直接研究する代わりに、ガロア理論はそれを(通常はずっと小さい有限の)対称群 $G$ と交換する。この対応は、この交換が何も失わないことを示している: $F$ と $K$ の間にある各中間体は、 $G$ の中にある部分群とまったく同じパターンで、ただ上下逆に対応する——より大きな体はより小さな群に対応する。体の塔に関する問い(たとえば「平方根だけで作図できるか」)は、有限群の構造に関する問いに変わり、それははるかに答えやすいことが多い。

証明の概略

部分群 $H\le G$ に対し、 $K^H$ が $F\subseteq K^H\subseteq K$ を満たす体であることが示される。指標の一次独立性(アルティンの補題)により $[K:K^H]=|H|$ が、また別に $[K:F]=|G|$ が示され、これらから $[K^H:F]=[G:H]$ が定まる。 $H\mapsto K^H$ の単射性と全射性は、任意の部分群 $H$ について $\operatorname{Gal}(K/K^H)=H$ であるというアルティンの定理から従う。正規性についての主張は、 $g\in G$ による $H$ の共役が固定体 $K^H$ への $g$ の作用に対応することから従い、したがって $H$ が $G$ で正規であることは $K^H$ が $G$ 全体の作用で不変であること、すなわち $K^H/F$ がガロア拡大であることと同値である。

証明者

1832年に証明エヴァリスト・ガロア

この定理を使うトピック

ガロア理論

参考文献

Ian Stewart (2015). Galois Theory · DOI:10.1201/b18187