調和関数の最大値原理

平均値性質を用いる：調和関数 $u$ と任意の球 $B(x_0,r) \subset \Omega$ に対し、$u(x_0)$ は $u$ の球面 $\partial B(x_0,r)$ 上での平均に等しい。もし $u$ が内部最大値 $M$ を $x_0$ でとるならば、そのような球面上での平均は $M$ に等しい一方、球面上のすべての値は $\le M$ であるため、球面上で $u \equiv M$ とならざるを得ない。この議論を、連結な領域を覆う重なり合う球の連鎖を通じて伝播させると、至る所で $u \equiv M$ となることが分かり、したがって最大値は境界上でも達成され、$u$ が定数でない限り真の内部最大値にはなり得ない。最小値原理は $-u$ に同じ議論を適用すれば従う。