発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）

内容

$V \subset \mathbb{R}^3$ を、滑らかな境界 $\partial V$ が外向き法線 $\mathbf{n}$ で向き付けられた有界領域とし、$\mathbf{F}$ を $\overline{V}$ の近傍で連続微分可能なベクトル場とする。このとき $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\, dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

発散 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ は、各点でベクトル場がどれだけ広がっているか、いわばそこで流体が生成・消滅する正味の割合を測る。領域内部でのそうした局所的な生成をすべて足し合わせたものは、境界を通って外へ抜け出る正味の流れと等しくなければならない——途中で何も失われることはなく、ただ表面を通って出て行くしかないのである。

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