モーデル・ヴェイユの定理

証明は2つの要素を組み合わせる。弱モーデル・ヴェイユ:$E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ が有限群であることを、それを(ガロアコホモロジーを用い、三次式の根 $e_i$ に対する $2$-降下写像 $P \mapsto (x(P)-e_1, x(P)-e_2, x(P)-e_3)$ によって)関連する数体のイデアル類群と単数群から構成される群へ埋め込むことで示す。これらはどちらも有限であることが知られている。高さによる降下:各点に、$\hat h(2P) = 4\hat h(P)$ を満たし、任意の与えられた限界より低い高さを持つ点が有限個しかない実数値の算術的複雑さの尺度である標準高さ $\hat h(P) \ge 0$ を付与する。$E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ の有限個の剰余類代表元と、(高さの平行四辺形則により)任意の点の高さを繰り返し半分にすると最終的に有界な高さの領域に入るという事実を組み合わせると、すべての点が有限個の代表元と有限個の有界高さの点の $\mathbb{Z}$ 結合であることが示され——したがって $E(\mathbb{Q})$ は有限生成である。