ピカール・リンデレフの定理

内容

$f(t,y)$ が、$(t_0,y_0)$ を含む領域上で連続であり、$y$ に関してリプシッツ連続であるとする。このとき初期値問題 $y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ は $t_0$ の周りのある区間でただ一つの解を持つ。

なぜ正しいのか?

微分方程式の右辺が $y$ の変化に対してあまり急激に変わらない（リプシッツ条件を満たす）ならば、その方程式は well-posed な規則のように振る舞う。ある一点から出発すると、少なくとも短い時間の間はただ一つの軌道だけが展開する。二つの軌道は決して交わらない。交わるということは、同じ現在から二つの異なる未来が生まれることを意味するからである。

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