ポアンカレ・ベンディクソンの定理

内容

$\dot{x} = f(x)$ を $C^1$ 級の平面ベクトル場とし、ある順方向軌道が不動点を含まないコンパクト領域内にとどまるとする。このときその軌道の $\omega$-極限集合は周期軌道である。

なぜ正しいのか?

二次元では、有界な領域を出ず、不動点にも落ち着かない軌道は、自分自身と交わることができず平面の位相構造に閉じ込められているため、繰り返さずに永遠にさまよい続けることはできない。最終的には閉じたループへと螺旋を描いて収束し、そこを永遠に回り続けるほかない。これは本質的に平面特有の現象であり、軌道が交わらずに互いをすり抜ける余地が生まれる三次元以上になって初めてカオスが可能になる。

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