平方剰余の相互法則

内容

相異なる奇素数 $p,q$ に対して $\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$ が成り立つ。ここで $\left(\dfrac{\cdot}{\cdot}\right)$ はルジャンドル記号を表す。

なぜ正しいのか?

これは、一見無関係に見える二つの問い ― $p$ が $q$ を法とする平方数であるかどうかと、$q$ が $p$ を法とする平方数であるかどうか ― を結びつけ、両者がほとんど常に一致し、両方の素数の余りが $3$($4$ で割ったとき)である場合にのみ異なることを示す。

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