ヴィエトの公式

内容

最高次係数が 1 の多項式 $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ の根を $r_1,\dots,r_n$(重複度を込めて)とすると、根の基本対称式は符号を除いて係数に一致する: $\sum_i r_i = -a_{n-1}$、$\sum_{i<j} r_ir_j = a_{n-2}$、…、$r_1r_2\cdots r_n=(-1)^n a_0$。

なぜ正しいのか?

多項式の根がすでに分かっていれば、$(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$ を展開することで多項式を再構成できる。この積を展開すると、根同士があらゆる仕方で混ざり合う——根一つずつの和、根二つずつの積の和、というように——そしてその混ざり方がそのまま係数になる。つまり係数は無作為な数ではなく、根の組み合わせ方を圧縮して記録したものである。

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