Giả thuyết Bieberbach

Cho $f : \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ là một hàm chỉnh hình và đơn ánh (đơn diệp / schlicht) trên hình tròn đơn vị mở $\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$, được chuẩn hóa sao cho $f(0) = 0$ và $f'(0) = 1$, với khai triển Taylor $f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n$. Khi đó các hệ số thỏa mãn $|a_n| \le n$ với mọi số nguyên $n \ge 2$, và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $f$ là một phép quay của hàm Koebe $K_\theta(z) = \frac{z}{(1 - e^{i\theta} z)^2} = \sum_{n=1}^\infty n e^{i(n-1)\theta} z^n$.

Được giải bởi Louis de Branges năm 1984 (xuất bản trên Acta Mathematica năm 1985). De Branges đã chứng minh giả thuyết năm 1971 của Isaak Milin về các hệ số logarit $\gamma_k$ của $\log(f(z)/z) = 2\sum_{k=1}^\infty \gamma_k z^k$—cụ thể là $\sum_{k=1}^n (n+1-k) k (|\gamma_k|^2 - 1/k^2) \le 0$—mà qua phép lấy hàm mũ Lebedev–Milin sẽ suy ra giả thuyết năm 1936 của M. S. Robertson về hàm đơn diệp lẻ và do đó suy ra giả thuyết Bieberbach. Sử dụng phương trình vi phân năm 1923 của Karl Loewner cho các ánh xạ rãnh cắt, de Branges quy bất đẳng thức Milin về tính đơn điệu của một hệ hàm trọng số $\sigma_k(t)$ mà đạo hàm của chúng không dương nhờ một bất đẳng thức dương tính năm 1976 cho các hàm siêu bội tổng quát ${}_3F_2$ (tổng các đa thức Jacobi) do Richard Askey và George Gasper chứng minh.