比伯巴赫猜想

设 $f : \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ 是开单位圆盘 $\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$ 上的全纯单射函数（单叶函数 / schlicht 函数），经归一化满足 $f(0) = 0$ 与 $f'(0) = 1$，其泰勒展开为 $f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n$。则对每个整数 $n \ge 2$，系数满足 $|a_n| \le n$，且等号成立当且仅当 $f$ 是科贝函数的旋转 $K_\theta(z) = \frac{z}{(1 - e^{i\theta} z)^2} = \sum_{n=1}^\infty n e^{i(n-1)\theta} z^n$。

由路易·德布朗热（Louis de Branges）于1984年解决（1985年发表于 Acta Mathematica）。德布朗热证明了伊萨克·米林1971年关于 $\log(f(z)/z) = 2\sum_{k=1}^\infty \gamma_k z^k$ 的对数系数 $\gamma_k$ 的猜想——即 $\sum_{k=1}^n (n+1-k) k (|\gamma_k|^2 - 1/k^2) \le 0$——由列别捷夫–米林指数化不等式，这蕴含了 M. S. 罗伯逊1936年关于奇单叶函数的猜想，进而推出比伯巴赫猜想。借助卡尔·勒夫纳1923年针对裂纹映射建立的微分方程，德布朗热将米林不等式归约为一组权函数 $\sigma_k(t)$ 的单调性，并利用理查德·阿斯基与乔治·加斯珀于1976年证明的广义超几何函数 ${}_3F_2$（雅可比多项式之和）正性不等式证明了其导数非正。