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解法：德布朗热经由米林猜想给出的比伯巴赫猜想证明(1984年)

第 1/8 步：陈述猜想与极值科比函数
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通俗地说

如果一个函数 ff 在单位圆盘上从不把两个不同的点送到同一处,就称它在该圆盘上是单叶的(一一的),就像一张被拉伸弯曲、但从不与自身重叠折叠的橡胶膜。比伯巴赫在1916年的猜想断言,对这样的函数,若将其规范化为 f(z)=z+a2z2+a3z3+⋯f(z) = z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \cdots 的形式,每个系数 ana_n 的大小都不可能超过 nn。

这个界是紧的:科比函数 k(z)=z(1−z)2k(z) = \frac{z}{(1-z)^2} 把圆盘拉伸成整个平面去掉负实轴上一条裂缝的区域,对每个 nn 都恰好达到 an=na_n = n,因此不可能存在比 nn 更好的界。

∣an∣≤n for univalent f(z)=z+∑n=2∞anzn on ∣z∣<1,equality only for rotations of k(z)=z(1−z)2|a_n| \le n \ \text{for univalent} \ f(z) = z + \sum_{n=2}^{\infty} a_n z^n \ \text{on} \ |z|<1, \quad \text{equality only for rotations of} \ k(z) = \frac{z}{(1-z)^2}
详细分析

1916年,路德维希·比伯巴赫猜测,开单位圆盘 {z∈C:∣z∣<1}\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\} 上每个单叶(单射)全纯函数 f(z)=z+∑n=2∞anznf(z) = z + \sum_{n=2}^{\infty} a_n z^n 对每个 n≥2n \ge 2 都满足 ∣an∣≤n|a_n| \le n,且等号仅当函数为把圆盘映到整个平面去掉从 −∞-\infty 到 −14-\tfrac{1}{4} 的负实轴裂缝区域的科比函数 k(z)=z(1−z)2k(z) = \frac{z}{(1-z)^2} 的旋转时成立。

对第 nn 个系数的直接攻击只能逐个情形取胜:比伯巴赫本人处理了 n=2n=2(1916年),卡尔·勒夫纳处理了 n=3n=3(1923年,为此发明了他的微分方程),加拉贝迪安与希弗处理了 n=4n=4(1955年),到1972年推进到 n=6n=6;当时看不到任何能同时处理所有 nn 的方法,该猜想悬而未决长达68年。

路易·德布朗热在1984年找到的最终证明,并没有对每个 nn 直接攻克 ∣an∣≤n|a_n| \le n;相反,它证明了伊萨克·米林关于另一组系数的一个更强、统一的猜想,而这个猜想能一次性迫使所有比伯巴赫界成立——这正是下一步的主题。

本步骤中的术语
单叶函数
定义域(此处为单位圆盘)上的全纯函数 ff 是单射的:f(z1)=f(z2)f(z_1) = f(z_2) 仅当 z1=z2z_1 = z_2 时成立,即它从不把两个不同的点映到同一个像。
科比函数
函数 k(z)=z(1−z)2=∑n=1∞nznk(z) = \frac{z}{(1-z)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n z^n,是比伯巴赫猜想中对每个 nn 都取得等号 ∣an∣=n|a_n| = n 的(旋转意义下)唯一极值例子。
本步骤用到的知识
复变函数