Bài toán phân hoạch Borsuk

Có phải mọi tập con bị chặn $E \subset \mathbb{R}^n$ có đường kính dương $D = \sup_{x,y \in E} \|x - y\| > 0$ đều có thể phân hoạch thành tối đa $n + 1$ tập con $E_1, \dots, E_{n+1}$ sao cho đường kính của mỗi phần $E_i$ đều nhỏ hơn thực sự so với $D$ hay không?

Bị bác bỏ trong trường hợp tổng quát bởi Jeff Kahn và Gil Kalai vào năm 1993. Sử dụng định lý giao Frankl–Wilson trên các vectơ $(0,1)$, hai ông đã dựng các tập điểm hữu hạn trong $\mathbb{R}^n$ đòi hỏi ít nhất $(1.2)^{\sqrt{n}}$ phần có đường kính nhỏ hơn, cho ra phản ví dụ tường minh ở chiều $n = 1{,}325$ và với mọi $n > 2{,}014$. Các nghiên cứu tiếp theo liên tục hạ thấp số chiều nhỏ nhất mà tại đó giả thuyết Borsuk sai: Andriy V. Bondarenko (2013) dùng tập hai khoảng cách từ đồ thị chính quy mạnh để tìm phản ví dụ trong $\mathbb{R}^{65}$, Thomas Jenrich và Andries E. Brouwer (2014) tìm ra phản ví dụ 352 điểm trong $\mathbb{R}^{64}$, và một bản thảo preprint năm 2026 của Yibo Ji kiểm chứng phản ví dụ 321 điểm do AI tạo ra trong $\mathbb{R}^{63}$.