博苏克分割问题

对于任意具有正直径 $D = \sup_{x,y \in E} \|x - y\| > 0$ 的有界子集 $E \subset \mathbb{R}^n$，是否总能将其分割为至多 $n + 1$ 个子集 $E_1, \dots, E_{n+1}$，使得每一部分 $E_i$ 的直径都严格小于 $D$？

1993年由杰夫·卡恩和吉尔·卡莱在一般情形下推翻。他们利用关于 $(0,1)$-向量的弗兰克尔-威尔逊相交定理，在 $\mathbb{R}^n$ 中构造出至少需要 $(1.2)^{\sqrt{n}}$ 个较小直径部分才能覆盖的有限点集，给出了 $n = 1{,}325$ 及所有 $n > 2{,}014$ 的显式反例。后续研究不断降低博苏克猜想失效的最小维数：安德烈·V·邦达连科（2013年）利用源自强正则图的双距离集在 $\mathbb{R}^{65}$ 中找到反例，托马斯·延里希与安德里斯·E·布劳威尔（2014年）在 $\mathbb{R}^{64}$ 中发现了352个点的反例，而2026年季一博（Yibo Ji）的一篇预印本核实了由AI生成的 $\mathbb{R}^{63}$ 中321个点的反例。