博苏克分割问题

已被证伪几何学

问题陈述

对于任意具有正直径 $D = \sup_{x,y \in E} \|x - y\| > 0$ 的有界子集 $E \subset \mathbb{R}^n$ ，是否总能将其分割为至多 $n + 1$ 个子集 $E_1, \dots, E_{n+1}$ ，使得每一部分 $E_i$ 的直径都严格小于 $D$ ？

1993年由杰夫·卡恩和吉尔·卡莱在一般情形下推翻。他们利用关于 $(0,1)$ -向量的弗兰克尔-威尔逊相交定理，在 $\mathbb{R}^n$ 中构造出至少需要 $(1.2)^{\sqrt{n}}$ 个较小直径部分才能覆盖的有限点集，给出了 $n = 1{,}325$ 及所有 $n > 2{,}014$ 的显式反例。后续研究不断降低博苏克猜想失效的最小维数：安德烈·V·邦达连科（2013年）利用源自强正则图的双距离集在 $\mathbb{R}^{65}$ 中找到反例，托马斯·延里希与安德里斯·E·布劳威尔（2014年）在 $\mathbb{R}^{64}$ 中发现了352个点的反例，而2026年季一博（Yibo Ji）的一篇预印本核实了由AI生成的 $\mathbb{R}^{63}$ 中321个点的反例。

尽管博苏克猜想在一般情形下已被推翻，但确定其开始失效的精确临界维数仍是一个重大未决问题：该猜想对 $n \le 3$ 已获证明，对 $n \ge 64$ （以及2026年预印本中的 $n = 63$ ）已知不成立，而对包括 $n = 4$ 在内的所有中间维数 $4 \le n \le 62$ 仍完全未知。另一个活跃方向是研究博苏克数 $b(n)$ （即将 $\mathbb{R}^n$ 中任意有界集分割为更小直径部分所需的最少块数）的渐近增长，目前已知的最佳通用上界是奥代德·施拉姆于1988年证明的 $b(n) \le (\sqrt{3/2} + o(1))^n$ 。

参考文献

Karol Borsuk (1933). Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre · DOI:10.4064/fm-20-1-177-190
Jeff Kahn, Gil Kalai (1993). A counterexample to Borsuk's conjecture · DOI:10.1090/S0273-0979-1993-00398-7 · arXiv:math/9307229v1
Andriy V. Bondarenko (2014). On Borsuk's conjecture for two-distance sets · DOI:10.1007/s00454-014-9579-4 · arXiv:1305.2584v2
Thomas Jenrich, Andries E. Brouwer (2014). A 64-dimensional counterexample to Borsuk's conjecture · DOI:10.37236/4069 · arXiv:1308.0206v3
Yibo Ji (2026). An AI Generated Counterexample to Borsuk Problem in Dimension 63 · arXiv:2608.12561v1 [预印本,未经同行评审]

问题历史

1933卡罗尔·博苏克证明了 $n = 2$ 的情形（任何直径为 $D$ 的平面集均可被三个直径不超过 $\frac{\sqrt{3}}{2} D < D$ 的集合覆盖），并在其关于 $n$ 维球面的论文末尾提出了一般 $n$ 维情形的问题。
1946胡戈·哈德维格证明了 $\mathbb{R}^n$ 中任何具有光滑边界（即每个边界点都有唯一支撑超平面）的有界子集都可以分割为 $n + 1$ 个直径更小的部分。
1955H·G·埃格尔斯顿给出了 $n = 3$ 的完整证明（继朱利安·佩尔卡尔1947年的早期发表之后），证明 $\mathbb{R}^3$ 中任何有界子集都可分割为 $4$ 个直径更小的部分。
1993杰夫·卡恩和吉尔·卡莱在高维空间推翻了博苏克猜想，证明在 $\mathbb{R}^n$ 中分割成更小直径所需的最少块数至少按 $(1.2)^{\sqrt{n}}$ 呈指数增长。
2013安德烈·V·邦达连科利用强正则图 $G_2(4)$ 在 $\mathbb{R}^{65}$ 中构造了双距离集反例，托马斯·延里希和安德里斯·E·布劳威尔（2014年）随后将其改进为 $\mathbb{R}^{64}$ 中一个包含352个点、至少需要 $71 > 65$ 个部分的反例。