Bài toán tập mũ (cap set)

Xác định xem kích thước lớn nhất $r_3(\mathbb{F}_3^n)$ của một tập mũ (cap set) — một tập con $A \subseteq \mathbb{F}_3^n$ không chứa cấp số cộng độ dài ba (không có ba phần tử phân biệt $x, y, z \in A$ thỏa $x + y + z = 0$) — có tăng theo hàm mũ với cơ số nhỏ hơn hẳn $3$, tức là $r_3(\mathbb{F}_3^n) \le c^n$ với hằng số $c < 3$ nào đó hay không.

Tháng 5 năm 2016, Ernie Croot, Vsevolod Lev và Péter Pál Pach đưa ra phương pháp đa thức đột phá để chặn các tập không chứa cấp số cộng trong $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^n$. Chỉ vài ngày sau, Jordan Ellenberg và Dion Gijswijt chuyển kỹ thuật này sang $\mathbb{F}_q^n$, chứng minh mọi tập mũ trong $\mathbb{F}_3^n$ có kích thước tối đa $O(c^n)$ với $c = 3(8^{-1/3})(1+8^{-1/3}+8^{-2/3}) / 2 \approx 2.7552 < 3$ (hay $\frac{3}{8^{1/3}} \cdot \dots \approx 2.756$). Terence Tao phát biểu lại chứng minh một cách gọn gàng thông qua hạng lát cắt (slice rank) của tensor. Dù kết quả này đã giải quyết trọn vẹn giả thuyết định tính về độ giảm hàm mũ, việc xác định chính xác cơ số mũ giữa cận dưới tốt nhất ($\approx 2.220^n$) và $2.7552^n$ vẫn còn để ngỏ.