作図可能な正多角形（ガウス–ヴァンツェルの定理）

提起者, 紀元前300年アレクサンドリアのエウクレイデス解決者, 1837カール・フリードリヒ・ガウス

代数的条件 $n = 2^k p_1 \cdots p_m$ によって作図可能性はフェルマー素数の問題に完全に帰着されたが、既知の5つのフェルマー素数 $F_0 = 3$, $F_1 = 5$, $F_2 = 17$, $F_3 = 257$, $F_4 = 65{,}537$ のほかにフェルマー素数が存在するかどうかは数論における有名な未解決問題であり、そのため奇数の辺を持つ作図可能な正多角形は現在 $2^5 - 1 = 31$ 個しか知られていない。一方、作図道具を拡張して角の三等分（目盛り付き定規によるネウシス作図、円錐曲線の交点、または折り紙）を許すと、アンドリュー・M・グリーソン（1988年）が示したように、正 $n$ 角形が作図可能であるための必要十分条件は各 $p_i$ を $2^u 3^v + 1$ の形の相異なるピアポン素数として $n = 2^k 3^l p_1 \cdots p_m$ と表されることとなり、正 $7$ 角形、正 $9$ 角形、正 $13$ 角形なども作図可能になる。