作図可能な正多角形（ガウス–ヴァンツェルの定理）

理想的なコンパスと目盛りのない定規のみを用い、有限回の操作によって正 $n$ 角形が作図可能となるような整数 $n \ge 3$ をすべて決定せよ。

カール・フリードリヒ・ガウスは1796年3月30日に正 $17$ 角形が作図可能であることを発見し、1801年の『算術研究』（Disquisitiones Arithmeticae）第7章において、$\varphi(n)$ が $2$ のべき乗であるとき——すなわち相異なるフェルマー素数 $p_i = 2^{2^{r_i}} + 1$ を用いて $n = 2^k p_1 \cdots p_m$ と表されるとき——正 $n$ 角形が作図可能であることを証明した。ガウスはこの条件が必要条件でもあると明言していたが、その必要性の完全な証明は1837年にピエール・ローラン・ヴァンツェルが円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ の次数 $\varphi(n) = 2^s$ の条件を証明したことで完結した。