Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1640

Tính hữu hạn của số nguyên tố Fermat

Còn mở

Người ta giả thuyết rằng chỉ có hữu hạn số Fermat $F_n = 2^{2^n}+1$ là số nguyên tố — thực ra là chỉ có đúng năm số nguyên tố Fermat đã biết $F_0=3$ , $F_1=5$ , $F_2=17$ , $F_3=257$ , $F_4=65537$ — dù chính Fermat ban đầu tin rằng mọi $F_n$ đều là số nguyên tố.

Người nêu, 1640Pierre de Fermat

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, các số $F_5$ đến $F_{32}$ đều đã được chứng minh là hợp số (qua phép thử Pépin hoặc một ước số tường minh), và chưa từng tìm được số nguyên tố Fermat nào sau $F_4$ dù đã tìm kiếm phân tán rộng rãi. Một heuristic chuẩn — coi $F_n$ là 'số nguyên tố' với xác suất tương đương một số ngẫu nhiên cùng cỡ — dự đoán số lượng kỳ vọng của các số nguyên tố Fermat khác sau $F_4$ là khoảng $3\times 10^{-10}$ , gần như bằng không, nhưng đây không phải chứng minh rằng không tồn tại số nào.

Kết quả tốt nhất đã biết

$F_n$ đã được chứng minh là hợp số với mọi $5 \le n \le 32$ ; phân tích ra thừa số nguyên tố đầy đủ chỉ được biết với $n \le 11$ .
Số lượng kỳ vọng theo heuristic của số nguyên tố Fermat sau $F_4$ vào khoảng $3\times 10^{-10}$ , dựa trên việc coi tính nguyên tố là các sự kiện ngẫu nhiên độc lập với xác suất $\approx 1/\ln F_n$ .

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Phép thử Pépin	Cho một quyết định nhanh, tất định về tính hợp số hay nguyên tố cho bất kỳ số Fermat cụ thể nào, dù lớn tới đâu.	Nó chỉ từng giải quyết được hữu hạn ứng viên riêng lẻ; không thể loại trừ khả năng có số nguyên tố xuất hiện ở đâu đó xa trong các chỉ số chưa kiểm tra.
Tìm kiếm ước số phân tán (PrimeGrid, Proth Search)	Tìm được các ước số nguyên tố tường minh của những số Fermat hợp số khổng lồ, kể cả một số có chỉ số lên tới hàng triệu, xác nhận chúng là hợp số mà không cần phân tích đầy đủ.	Không tìm được ước số cho một $F_n$ nào đó tới một độ sâu tìm kiếm nhất định không chứng minh nó là số nguyên tố hay hợp số, và việc tìm ước số không thể bao phủ vô hạn chỉ số chưa kiểm tra.

Câu hỏi còn mở

Có chứng minh nào, dù chỉ có điều kiện, cho việc chỉ có hữu hạn số nguyên tố Fermat hay không?
Số $F_{33}$ , số Fermat nhỏ nhất chưa xác định được tính đến năm 2026, là số nguyên tố hay hợp số?

Tài liệu tham khảo

Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer (2001). 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry
Wilfrid Keller (2024). Fermat factoring status